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支持向量机简要介绍

一些概念：

1.分隔超平面：在二维中直观来说就是将数据集分隔开来的直线，三维中则是一个平面。触类旁通。

2.超平面：分类的决策边界，分布在超平面一侧的所有数据都属于某个类别，另一侧属于另一个。

3.支持向量：离分隔超平面最近的那些点。

4.分类器（数据集）的间隔：数据集中所有点到分割面的最小间隔的两倍。

5.目标之一：选找到离分隔超平面最近的点，确保其离分隔面的距离尽可能的远。

6.分隔超平面的数学形式：${w}^{{T}}x + b$

7.二维平面上的点到分隔超平面的距离：任取一点A，则该点到分隔平面的法线长度：

|wTA+b|/∥w∥

$$\vert {w}^{T}A+b\vert /\Vert w \Vert$$

8.新的目标：计算$w和b$。为此，必须找到具有最小间隔的数据点，也即支持向量。一旦找到具有最小间隔的数据点，接着再对该间隔点最大化。数学形式可表示为：

$$\mathop{\rm argmax}_{w,b}\{\min_i(lable·({w}^{T}x+b))·\frac{1}{\Vert w\Vert}\}$$

通过拉格朗日算子将上式化简(虽然我并不知道到底是怎么转化的。。。)有:

$$\mathop{\rm max}_\alpha[ \sum_{i=1}^m\alpha-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^m label^{(i)}·label^{(j)}·\alpha_i·\alpha_j\left< x^{(i)},y^{(j)} \right>]$$

进一步我们引入软间隔项C（也称为松弛变量），使得允许有些数据点可以处于分割面错误的一侧，也即：

$$C\ge\alpha\ge0,和\sum_{i-1}^m\alpha_i·labej^{(i)} = 0$$ 而这个常数C更具体来说是用于控制“最大化间隔”和“保证大部分店的函数间隔小于1.0”折两个目标的权重。

SMO算法：用于训练SVM

1.含义：Sequential Minimal Optimization(序列最小化)，将大优化问题分解为多个小优化问题来求解。

2.目标：求出一系列的$\alpha和b$，进而计算出权重向量$w$来得到分隔超平面。

3.工作原理：每次循环中选择两个$\alpha$进行优化处理。一旦找到一对合适的$\alpha$，那么就增大其中一个同时减小另一个。其中合适的定义是这两个$\alpha$要在间隔边界外，且没有进行区间和处理。

4.优化办法：启发式选取第二个$\alpha$值，即通过最大化步长的方式来获得第二个$\alpha$值。

核函数

1.作用：将数据映射到高维空间，可以将其想象为一个接口，能把数据从某个很难处理的形式转换成另一个较容易处理的形式，也即在高维空间中解决线性问题，等价于在低维空间中解决非线性问题。

2.核技巧: kernel trick。将内机替换成核函数的方式，单纯的替换即可，无须简化。

3.常用核函数： RBF（径向基函数，高斯核），多项式核，线性核。

接下来的py代码里面实现了简易的纯暴力smo算法和基于启发式的smo算法，并测试了rbf核函数，并对手写识别问题的分类进行了再次的考证。

# -*- coding: utf-8 -*-"""照葫芦画瓢完成于2017.5.11 19:55算法名称 : 支持向量机作者:    zzt941006"""from numpy import *def loadDataSet(fileName):    dataMat = []    labelMat = []    fr = open(fileName)    for line in fr.readlines():        lineArr = line.strip().split('\t')        dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])        labelMat.append(float(lineArr[2]))    return dataMat,labelMatdef selectJrand(i,m):    j = i    while(j == i):        j = int(random.uniform(0,m))    return jdef clipAlpha(aj,H,L):    if aj > H:        aj = H    if L > aj:        aj = L    return ajdef smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):    dataMatrix = mat(dataMatIn) # 100 * 2    labelMat = mat(classLabels).transpose() # 1 * 100    b = 0    m,n = shape(dataMatrix)    alphas = mat(zeros((m,1))) # 100 * 1    iter = 0    while (iter < maxIter):        alphaPairsChanged = 0#标志位用于判定这一对alpha是否已经优化        for i in range(m):            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[i,:].T)) + b #dataMatrix[i,:]取得是矩阵中第i行的所有元素            #multiply做的是元素间的点乘,需要两个矩阵维度一模一样，在此alphas,labelMat点乘后得到100 * 1 维度，转置后得到1 * 100            #而dataMatrix * dataMatrixp[i,:] 是整个矩阵乘以该矩阵的某一行的转置，所以最终维度是 100 * 1            #点乘矩阵转置维度变为1 * 100 在跟后者进行矩阵相乘，得到一个标量（1 * 1） 维度            #在此通过这一些列的计算获取fXi，用来代表我们预测的类别            Ei = fXi - float(labelMat[i])#与真实标签的误差计算，如果误差很大，就可以基于此对alpha值进行优化            if((labelMat[i] * Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i] * i > toler) and (alphas[i] > 0)):#调优检验            #不在边界上的点，且误差很大时，可以对值进行进一步的优化                j = selectJrand(i,m)                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[j,:].T)) + b #随机选取第二个alpha并计算                Ej = fXj - float(labelMat[j])                alphaIold = alphas[i].copy()                alphaJold = alphas[j].copy()#要用copy方法来赋值，这样可以让其有新的内存，否则无法发现改变                if(labelMat[i] != labelMat[j]):#边界调整，防止alpha[j] > C 或者 < 0                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])                else:                    L = max(0, alphas[i] + alphas[j] - C)                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])                if L == H : print "L == H"; continue #相等则不做改变，进入下一次循环                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:] * dataMatrix[i,:].T - \                      dataMatrix[j,:] * dataMatrix[j,:].T #alpha[j]的最优修改量                if eta >= 0: print "eta >= 0"; continue;                alphas[j] -= labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta #更新alpha[j]                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)                if(abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "j not moving enough"; continue                alphas[i] += labelMat[j] * labelMat[i] * (alphaJold - alphas[j]) #更新alpha[i],修改量与j相同？？？ 方向相反显然                b1 = b - Ei - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[i,:].T - \                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T                b2 = b - Ej - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i,:] * dataMatrix[j,:].T - \                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[j,:] * dataMatrix[j,:].T                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[j]) : b  = b1                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2                else : b = (b1 + b2) / 2.0 #更新常数项                alphaPairsChanged += 1                print "iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)        if(alphaPairsChanged == 0): iter += 1        else : iter = 0        print "iteration number: %d" % iter    return b,alphasdef kernelTrans(X,A,kTup):    m,n = shape(X)    K = mat(zeros((m,1)))    if kTup[0] == 'lin' : K = X * A.T    elif kTup[0] == 'rbf':        for j in range(m):            deltaRow = X[j,:] - A            K[j]  = deltaRow * deltaRow.T        K = exp(K/(-1 * kTup[1]**2))    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')    return Kclass optStruct: #自己建立一个数据结构来保存所有重要的值，因此实例化了一个对象，不过只是作为一个数据结构来使用对象    def __init__(self,dataMatIn,classLabels,C,toler,kTup):        self.X = dataMatIn        self.labelMat = classLabels        self.C = C        self.tol = toler        self.m = shape(dataMatIn)[0]        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))        self.b = 0        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) # 误差缓存        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))        for i in range(self.m):            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X,self.X[i,:],kTup) # 调用该函数，对矩阵K进行填充def calcEk(oS,k):    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T * oS.K[:,k] + oS.b)    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])    return Ekdef selectJ(i,oS,Ei):    maxK = -1    maxDeltaE = 0    Ej  = 0    oS.eCache[i] = [1,Ei]    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #构建一个标志位的非零表，返回非零E值所对应的alpha表    if (len(validEcacheList)) > 1:        for k in validEcacheList:            if k == i : continue            Ek = calcEk(oS,k)            deltaE = abs(Ei - Ek)            if (deltaE > maxDeltaE):                maxK = k                maxDeltaE = deltaE                Ej = Ek        return maxK,Ej    else :        j = selectJrand(i,oS.m)        Ej = calcEk(oS,j)    return j,Ejdef updateEk(oS,k):    Ek = calcEk(oS,k)    oS.eCache[k] = [1,Ek]def innerL(i,oS):    Ei = calcEk(oS,i)    if((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):        j,Ej = selectJ(i,oS,Ei)        alphaIold = oS.alphas[i].copy()        alphaJold = oS.alphas[j].copy()        if(oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):            L = max(0,oS.alphas[j] - oS.alphas[i])            H = min(oS.C,oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])        else:            L = max(0,oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)            H = min(oS.C,oS.alphas[j] + oS.alphas[i])        if L == H : print "L==H";return 0        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]        if eta >= 0 : print "eta >= 0"; return 0        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)        updateEk(oS,j)        if(abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):            print "j not moving enouth"; return 0        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alphaJold - oS.alphas[j])        updateEk(oS,i)        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0        return 1    else: return 0def smoP(dataMatIn,classLabels,C,toler,maxIter,kTup = ('lin',0)):    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler,kTup)    iter = 0    entireSet = True    alphaPairsChanged = 0    while(iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):        alphaPairsChanged = 0        if entireSet:            for i in range(oS.m):                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)                print "fullSet, iter: %d i : %d,pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)            iter += 1        else:            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]            for i in nonBoundIs:                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)                print "non-bound,iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)            iter += 1        if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop        elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True          print "iteration number: %d" % iter    return oS.b,oS.alphasdef calcWs(alphas,dataArr,classLabels):    X = mat(dataArr)    labelMat = mat(classLabels).transpose()    m,n = shape(X)    w = zeros((n,1))    for i in range(m):        w += multiply(alphas[i] * labelMat[i],X[i,:].T) #大部分alpha为零向量，因此非零向量即为支持向量    return wdef testRbf(k1 = 1.30):    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')    b,alphas = smoP(dataArr,labelArr,200,0.0001,10000,('rbf',k1))    datMat = mat(dataArr)    labelMat =mat(labelArr).transpose()    svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]    sVs = datMat[svInd]    labelSV = labelMat[svInd]    print "there ar %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]    m,n = shape(datMat)    errorCount = 0    for i  in range(m):        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b        if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m)    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')    b,alphas = smoP(dataArr,labelArr,200,0.0001,10000,('rbf',k1))    datMat = mat(dataArr)    labelMat =mat(labelArr).transpose()    svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]    sVs = datMat[svInd]    labelSV = labelMat[svInd]    print "there ar %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]    m,n = shape(datMat)    errorCount = 0    for i  in range(m):        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf',k1))        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b        if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m)def img2vector(filename):    returnVect = zeros((1,1024));#将32*32的二进制图像转化为1*1024维度的矩阵    fr = open(filename)    for i in range(32):        lineStr = fr.readline()       # print lineStr        for j in range(32):            returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j])#第一行为0-31 第二行加在后面为32-63....直到第32行的32个数字映射为 992-1023    return returnVectdef loadImapge(dirName):    from os import listdir    hwLabels = []    trainingFileList = listdir(dirName)    m = len(trainingFileList)    trainingMat = zeros((m,1024))    for i in range(m):        fileNameStr = trainingFileList[i]        fileStr = fileNameStr.split('_')[0]        classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])        if classNumStr == 9:hwLabels.append(-1)        else: hwLabels.append(1)        trainingMat[i,:] = img2vector('%s/%s' %(dirName,fileNameStr))    return trainingMat,hwLabelsdef testDigits(kTup = ('rbf',10)):    dataArr,labelArr = loadImages('trainingDigits')    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, kTup)    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()    svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]    sVs=datMat[svInd]     labelSV = labelMat[svInd];    print "there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]    m,n = shape(datMat)    errorCount = 0    for i in range(m):        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1    print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)    dataArr,labelArr = loadImages('testDigits')    errorCount = 0    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()    m,n = shape(datMat)    for i in range(m):        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1        print "the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)

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